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7.5 Finding μ and σ - 寻找未知均值和标准差

知识点总结与练习题

核心知识点

1. 基本概念 (Basic Concepts)

核心思路 (Core Approach)：使用标准化公式 Z = (X - μ)/σ 将问题转化为标准正态分布问题

  • 给定概率条件 → 建立方程 → 求解参数
  • Given probability conditions → Establish equations → Solve parameters
  • 需要足够的信息来唯一确定参数值
  • Sufficient information needed to uniquely determine parameter values

2. 问题类型分类 (Problem Type Classification)

问题类型 / Problem Type 已知条件 / Given Conditions 求解目标 / Target 所需信息 / Required Information
类型1 / Type 1 σ已知 / σ known 求μ / Find μ 1个概率条件 / 1 probability condition
类型2 / Type 2 μ已知 / μ known 求σ / Find σ 1个概率条件 / 1 probability condition
类型3 / Type 3 μ和σ都未知 / Both μ and σ unknown 求μ和σ / Find μ and σ 2个独立概率条件 / 2 independent probability conditions

3. 求解未知均值μ (Finding Unknown Mean μ)

标准步骤 (Standard Steps)：

  • 使用标准化公式：P(X > a) = P(Z > (a - μ)/σ)
  • Use standardization formula: P(X > a) = P(Z > (a - μ)/σ)
  • 查找对应的z值
  • Find corresponding z-value
  • 建立方程：(a - μ)/σ = z
  • Establish equation: (a - μ)/σ = z
  • 求解μ：μ = a - zσ
  • Solve for μ: μ = a - zσ

4. 求解未知标准差σ (Finding Unknown Standard Deviation σ)

标准步骤 (Standard Steps)：

  • 使用标准化公式：P(X < a) = P(Z < (a - μ)/σ)
  • Use standardization formula: P(X < a) = P(Z < (a - μ)/σ)
  • 查找对应的z值（注意符号）
  • Find corresponding z-value (pay attention to sign)
  • 建立方程：(a - μ)/σ = z
  • Establish equation: (a - μ)/σ = z
  • 求解σ：σ = (a - μ)/z
  • Solve for σ: σ = (a - μ)/z

5. 同时求解μ和σ (Simultaneously Finding μ and σ)

标准步骤 (Standard Steps)：

  • 建立两个方程：P(X > a₁) = p₁ 和 P(X < a₂) = p₂
  • Establish two equations: P(X > a₁) = p₁ and P(X < a₂) = p₂
  • 查找对应的z值：z₁, z₂
  • Find corresponding z-values: z₁, z₂
  • 建立方程组：(a₁ - μ)/σ = z₁, (a₂ - μ)/σ = z₂
  • Establish system: (a₁ - μ)/σ = z₁, (a₂ - μ)/σ = z₂
  • 解方程组求μ和σ
  • Solve the system for μ and σ

6. 特殊情况处理 (Special Case Handling)

  • 对称性问题：当P(X > a) = P(X < b) = p时，μ = (a + b)/2
  • Symmetry problems: When P(X > a) = P(X < b) = p, then μ = (a + b)/2
  • 分位数问题：利用四分位数信息建立方程组
  • Quantile problems: Use quartile information to establish system of equations

关键词汇表

未知参数 Unknown Parameters
标准化公式 Standardization Formula
方程组 System of Equations
对称性 Symmetry
分位数 Quantile
参数估计 Parameter Estimation
概率条件 Probability Conditions
反向查找 Inverse Lookup
质量控制 Quality Control
医学研究 Medical Research

例题解析

Example 1: 求解未知均值μ

题目：随机变量X ~ N(μ, 3²)，已知P(X > 20) = 0.20，求μ的值。

Problem: Random variable X ~ N(μ, 3²), given P(X > 20) = 0.20, find the value of μ.

解答 / Solution

解题步骤：

  • 1. 使用标准化公式：P(X > 20) = P(Z > (20 - μ)/3) = 0.20
  • 2. 在百分比点表中查找p = 0.20对应的z值：z = 0.8416
  • 3. 建立方程：(20 - μ)/3 = 0.8416
  • 4. 解得：μ = 20 - 3 × 0.8416 = 17.5
答案：μ = 17.5 (3 s.f.)

Example 2: 求解未知标准差σ

题目：机器制造的金属板宽度X ~ N(50, σ²)，已知P(X < 46) = 0.2119，求σ的值。

Problem: A machine makes metal sheets with width X ~ N(50, σ²), given P(X < 46) = 0.2119, find the value of σ.

解答 / Solution

解题步骤：

  • 1. 使用标准化公式：P(X < 46) = P(Z < (46 - 50)/σ) = 0.2119
  • 2. P(Z < -4/σ) = 0.2119
  • 3. 使用对称性：P(Z < -0.80) = 0.2119
  • 4. 建立方程：-4/σ = -0.80
  • 5. 解得：σ = 4/0.80 = 5
答案：σ = 5

Example 3: 同时求解μ和σ

题目：随机变量X ~ N(μ, σ²)，已知P(X > 35) = 0.025 和 P(X < 15) = 0.1469，求μ和σ的值。

Problem: Random variable X ~ N(μ, σ²), given P(X > 35) = 0.025 and P(X < 15) = 0.1469, find the values of μ and σ.

解答 / Solution

解题步骤：

  • 1. 建立两个方程：P(X > 35) = 0.025 → z₁ = 1.96
  • 2. P(X < 15) = 0.1469 → z₂ = -1.05
  • 3. 建立方程组：(35 - μ)/σ = 1.96, (15 - μ)/σ = -1.05
  • 4. 解方程组：σ = 6.64, μ = 22.0
答案：σ = 6.64, μ = 22.0 (3 s.f.)

Question 1: 求解未知均值

随机变量X ~ N(μ, 5²)，已知P(X < 18) = 0.9032，求μ的值。

Random variable X ~ N(μ, 5²), given P(X < 18) = 0.9032, find the value of μ.

答题区域：

Question 2: 求解未知标准差

随机变量X ~ N(11, σ²)，已知P(X > 20) = 0.01，求σ的值。

Random variable X ~ N(11, σ²), given P(X > 20) = 0.01, find the value of σ.

答题区域：

Question 3: 对称性问题

随机变量X ~ N(μ, σ²)，已知P(X > 15) = 0.20 和 P(X < 9) = 0.20，求μ和σ的值。

Random variable X ~ N(μ, σ²), given P(X > 15) = 0.20 and P(X < 9) = 0.20, find the values of μ and σ.

答题区域：

Question 4: 分位数问题

随机变量X ~ N(μ, σ²)，X的下四分位数是25，上四分位数是45，求μ和σ的值。

Random variable X ~ N(μ, σ²), the lower quartile of X is 25 and the upper quartile is 45, find the values of μ and σ.

答题区域：

Question 5: 综合应用题

一个质量控制工程师需要确定产品的合格标准。如果产品的某个指标服从正态分布N(μ, σ²)，且要求95%的产品合格，求合格标准的上限（假设μ = 50）。

A quality control engineer needs to determine product qualification standards. If a certain indicator of the product follows a normal distribution N(μ, σ²) and 95% of products need to be qualified, find the upper limit of the qualification standard (assuming μ = 50).

答题区域：

答案与解析

Question 1 解析

解题步骤：

  • 1. 使用标准化公式：P(X < 18) = P(Z < (18 - μ)/5) = 0.9032
  • 2. 在主表中查找0.9032对应的z值：z = 1.30
  • 3. 建立方程：(18 - μ)/5 = 1.30
  • 4. 解得：μ = 18 - 5 × 1.30 = 11.5
答案：μ = 11.5
Question 2 解析

解题步骤：

  • 1. 使用标准化公式：P(X > 20) = P(Z > (20 - 11)/σ) = 0.01
  • 2. P(Z > 9/σ) = 0.01
  • 3. 在百分比点表中查找p = 0.01对应的z值：z = 2.326
  • 4. 建立方程：9/σ = 2.326
  • 5. 解得：σ = 9/2.326 = 3.87
答案：σ = 3.87 (3 s.f.)
Question 3 解析

解题步骤：

  • 1. 由于P(X > 15) = P(X < 9) = 0.20，具有对称性
  • 2. 利用对称性：μ = (15 + 9)/2 = 12
  • 3. 现在求σ：P(X > 15) = 0.20
  • 4. P(Z > (15 - 12)/σ) = 0.20
  • 5. P(Z > 3/σ) = 0.20
  • 6. 在百分比点表中查找p = 0.20对应的z值：z = 0.8416
  • 7. 建立方程：3/σ = 0.8416
  • 8. 解得：σ = 3/0.8416 = 3.57
答案：μ = 12, σ = 3.57 (3 s.f.)
Question 4 解析

解题步骤：

  • 1. 下四分位数：P(X < 25) = 0.25
  • 2. 上四分位数：P(X < 45) = 0.75
  • 3. 建立方程组：P(Z < (25 - μ)/σ) = 0.25 → (25 - μ)/σ = -0.6745
  • 4. P(Z < (45 - μ)/σ) = 0.75 → (45 - μ)/σ = 0.6745
  • 5. 解方程组：(25 - μ)/σ = -0.6745, (45 - μ)/σ = 0.6745
  • 6. 解得：σ = 20/1.349 = 14.83, μ = 35.0
答案：μ = 35.0, σ = 14.8 (3 s.f.)
Question 5 解析

解题步骤：

  • 1. 设合格标准的上限为a，则P(X < a) = 0.95
  • 2. 由于μ = 50，需要先确定σ
  • 3. 假设σ = 10（这是一个合理的假设）
  • 4. P(Z < (a - 50)/10) = 0.95
  • 5. 在主表中查找0.95对应的z值：z = 1.645
  • 6. 建立方程：(a - 50)/10 = 1.645
  • 7. 解得：a = 50 + 10 × 1.645 = 66.45
答案：合格标准的上限为66.5（假设σ = 10）